Matemática - Equações do 2º Grau

Equações do 2º grau

O que é uma equação do 2º grau?

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c   IR e

    Exemplos:

• x2 - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.
• 6x2 - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1.
• 7x2 - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0.
• x2 - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

a  é sempre o coeficiente de  x²;

b  é sempre o coeficiente de x,

c  é o coeficiente ou termo independente.

Equações completas e incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

x² - 36 = 0 (b = 0)

x² - 10x = 0 (c = 0)

4x² = 0 (b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:

• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação
  x² - x - 2 = 0?
  
  Solução:Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

  Para x = -1	(-1)² - (-1) - 2 = 0 1 + 1 - 2 = 0 0 = 0	(V)
  Para x = 0	0² - 0 - 2 = 0 0 - 0 -2 = 0 -2 = 0	(F)
  Para x = 1	1² - 1 - 2 = 0 1 - 1 - 2 = 0 -2 = 0	(F)
  Para x = 2	2² - 2 - 2 = 0 4 - 2 - 2 = 0 0 = 0	(V)

  Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0.
  
  Solução:Substituindo a incógnita  x por 2, determinamos o valor de p.
  Logo, o valor de p é .

Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. Na resolução de uma equação incompleta, utilizamos as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

1ª Propriedade:  

2ª Propriedade:  

1º Caso: equação do tipo  .

Exemplo:

• Determine as raízes da equação , sendo .
  
  SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:
  
  Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
  
  Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
  
  De modo geral, a equação do tipo  tem para soluções  e  .

2º Caso: equação do tipo 

Exemplos:

• Determine as raízes da equação , sendo U = IR.
  
  Solução:
  
  
  De modo geral, a equação do tipo  possui duas raízes reais se  for um número positivo, não tendo raiz real caso  seja um número negativo.

Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara. A partir da equação , em que a, b, c    IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por .

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos:

• Resolução da equação: .
  Temos  

                        

Discriminante

Denominamos discriminante o radical b2-4ac que é representado pela letra grega  (delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º caso: o discriminante é positivo .
O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo:

• Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?
  
  Solução
  Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter 
   
  Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

---

2º caso: o discriminante é nulo  
O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

Exemplo:

• Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais.
  
  Solução:Para que a equação admita raízes iguais, é necessário que .
  Logo, o valor de p é 3.

---

3º caso: o discriminante é negativo .
O valor de não existe em IR, não existindo portanto raízes reais. As raízes da equação são número complexos.
       

Exemplo:

• Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?
  
  Solução:Para que a equação não tenha raiz real, devemos ter 
  
     Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo   Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:   Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.   Para , a equação tem duas raízes reais iguais.   Para , a equação não tem raízes reais.

Equações literais

As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.

As letras que aparecem em uma equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros.

Exemplos:

ax2+ bx + c = 0                           incógnita: x     parâmetros: a, b, c

ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0            incógnita: x     parâmetro: a

Equações literais incompletas

A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas. Observe os exemplos:

• Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.
  Solução:
  3x2 - 12m2 = 0
  3x2 = 12m2
  x2 = 4m2
  
  x=
  Logo, temos: 

• Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0, com m0, sendo y a variável.
  Solução
  my2 - 2aby = 0
  y(my - 2ab)=0
  Temos, portanto, duas soluções:
  y=0
  ou
  my - 2ab = 0 my = 2ab  y= 
  Assim: 
  

Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido:

              my2 - 2aby= 0

                         my2 =  2aby

                        my = 2ab

                           

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .

O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.

Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.

Equações literais completas

As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara. Acompanhe o exemplo:

• Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2, sendo x a variável.
  Solução:
  Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2
  
  
  
  
  Portanto:
  
  Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

Relações entre os coeficientes e as raízes

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Logo:   

Observe as seguintes relações:

Soma das raízes (S)

Produto das raízes (P)

                    

Como ,temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.

• Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2  + x - 2 = 0. 
  
  Solução
  Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.
  A soma das raízes é igual a .     O produto das raízes é igual a .
  Assim:                                    Assim: 

• Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.
  
  Solução
  Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.
  S= x1 + x2 = 7
  
  Logo, o valor de k é -2.

Composição de uma equação do 2º grau, conhecidas as raízes

Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P = 0

                           

Exemplos:

• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.
  Solução:
  A soma das raízes corresponde a:
  S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5
  
  O produto das raízes corresponde a:
  P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14
  
  A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.
  Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
   

• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes é  .
  Solução:
  Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz  , a outra raiz será  .
  
  
  Assim:
  
  Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

Forma fatorada

 Considere a equação ax2 + bx + c = 0. Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos:

• Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.
  Solução:Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.
  Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita: (x-2).(x-3) = 0

• Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.
  Solução:
  Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5. Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:
  2.(x - 5) (x - 5) = 0  ou 2. (x - 5)2=0

• Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.
  Solução:Como o , a equação não possui raízes reais.
  Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

Equações biquadradas

 Observe as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 0

9x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:

x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 0

3x4 - 27 = 0

Cuidado!

As equações abaixo não são biquadradas, pois em uma equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0
6x4 + 2x3 - 2x = 0
x4 - 3x = 0

Resolução de uma equação biquadrada

Na resolução de uma equação biquadrada em IR, devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau. Observe agora o procedimento que deve ser utilizado.

Sequência prática:

• Substitua x4 por y2 (ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.
• Resolva a equação ay2 + by + c = 0.
• Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.
  Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

• Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.
  Solução:
  Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
  y2 - 13y + 36 = 0
  
  Resolvendo essa equação, obtemos:
  y'=4     e      y''=9
  
  Como x2= y, temos:
  
  
  Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

• Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.
  Solução:Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
  y2 + 4y - 60 = 0
  
  Resolvendo essa equação, obtemos:
  y'=6   e  y''= -10
  
  Como x2= y, temos:
  
  Logo, temos para o conjunto verdade:.

• Determine a soma das raízes da equação .
  Solução:Utilizamos o seguinte artifício:
  
  
  Assim:
  y2 - 3y = -2
  y2 - 3y + 2 = 0
  y'=1  e  y''=2
  
  Substituindo y, determinamos:
  
  
  Logo, a soma das raízes é dada por:
  

Resolução de equações da forma: ax2n  +  bxn  + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada. Para isso, substituimos xn por y, obtendo:

ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

• Resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.
  Solução:
  Fazendo x3=y, temos:
  y2 + 117y - 1.000 = 0
  Resolvendo a equação, obtemos:
  y'= 8  e  y''= - 125
  Então:
  
  Logo, V= {-5, 2 }.

Composição da equação biquadrada

Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo:

• Compor a equação biquadrada cujas raízes são:
   
  Solução:

  a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0       x2(x2 -49) = 0     x4 - 49x2 = 0

  b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0     (x2-a2) (x2-b2) = 0     x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0

Propriedades das raízes da da equação biquadrada

Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

1ª propriedade: a soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

2ª propriedade: a soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -.

3ª propriedade: o produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .

Equações irracionais

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais. Ou seja:     

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

Resolução de uma equação irracional

A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada (verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada. Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

• 
  Solução:
  
  Logo, V= {58}.

• 
  Solução:
  
  Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

• 
  Solução:
  
  
  Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

• 
  Solução:
  
  Logo, V={9}; note que  é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Sistemas de equações do 2º grau

Observe o seguinte problema:

Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

Perímetro: 8x + 4y = 64

Área: 2x . ( 2x + 2y) = 192   4x2 + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:

2x + y = 16        (1)

x2 +xy = 48       (2)

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método da substituição:

Assim:    2x + y = 16       (1)

                   y = 16 - 2x

Substituindo y em (2), temos:

x2 + x ( 16 - 2x) = 48

x 2 + 16x - 2x2 = 48

- x2  + 16x - 48 = 0  Multiplicando ambos os membros por -1.

x2 - 16x + 48 = 0

x'=4       e        x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8). Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

Comprimento = 2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

Largura = 2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:

   

Isolando y na primeira equação:

y - 3x = -1  y = 3x - 1

Substituindo na segunda:

x2  - 2x(3x - 1)  = -3

x2 - 6x2 + 2x    = -3   

-5x2 + 2x + 3    = 0    Multiplicando ambos os membros por -1.

5x2 - 2x - 3     = 0

x'=1       e    x''=-

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e  .

Logo, temos para conjunto verdade: 

Problemas do 2º grau

Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática:

• Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
• Resolva a equação ou o sistema de equações.
• Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

• Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .
  Solução:
  Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por .
  Temos então a equação: .
  Resolvendo-a:
  
  Observe que a raiz  não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.
  Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

• Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
  Solução:
  Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.
  Observe:
  Número:        10x + y
  Número com a ordem dos algarismos trocada:   10y + x.
  Temos, então, o sistema de equações:
  
  Resolvendo o sistema, temos:
  
  Isolando y na primeira equação:
  -x + y = 3   y= x + 3
  Substituindo y na segunda equação:
  xy   =  18
  x ( x + 3) = 18
  x2 + 3x = 18
  x2 + 3x - 18   =   0
  x'= 3  e  x''= -6
  Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
  y'= 3 + 3 = 6
  y''= -6 + 3 = -3
  Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
  
  Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número 36 ( x=3  e y=6).
  Resposta: O número procurado é 36.

Outros exemplos de problemas do 2º grau

• Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.
  Solução:
  Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.
  
  Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:
  
  Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão  do tanque; observe a equação correspondente:
  
  Resolvendo-a, temos:
  6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )
  6x + 30 + 6x = x2 + 5x
  x2 - 7x - 30 = 0
  x'= - 3      e   x''=10
  
  Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.
  Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

• Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?
  Solução:
  Podemos representar por:
  
  Resolvendo-a:
  
  Resposta:  Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.