Matemática - Equações do 1º Grau com Uma Variável (2) / Equações do 1º Grau com Duas Variáveis

Conjunto universo e conjunto verdade de uma equação

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x+2=5.

Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.

Observe este outro exemplo:

• Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25.

O conjunto dos números inteiros é o conjunto universo da equação. Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por:
V = {-5, 5}.

Daí, concluímos que:

Conjunto universo é o conjunto de todos os valores que a variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U que tornam verdadeira a equação. Indica-se por V.

Observações:

• O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

• Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais.

• O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:

• Substituir a incógnita por esse número.
• Determinar o valor de cada membro da equação.
• Verificar a igualdade. Sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

• Resolva a equação x - 2  = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0, temos: 0 - 2 = 0  => -2 = 0. (F)

Para x = 1, temos: 1 - 2 = 0  => -1 = 0. (F)

Para x = 2, temos: 2 - 2 = 0  => 0 = 0. (V)

Para x = 3, temos: 3 - 2 = 0  => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

• Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1, temos: 2 . (-1) - 5 = 1  => -7 = 1. (F)

Para x = 0, temos: 2 . 0 - 5 = 1  => -5 = 1. (F)

Para x = 1, temos: 2 . 1 - 5 = 1  => -3 = 1. (F)

Para x = 2, temos: 2 . 2 - 5 = 1  => -1 = 1. (F)

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V =  Ø.

Resolução de uma equação

Resolver uma equação consiste em realizar uma série de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples, que nos permitem determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

• Sendo   , resolva a equação    .

MMC (4, 6) = 12

-9x = 10  =>   Multiplicador por (-1)

9x = -10

Como  , então .

• Sendo , resolva a equação 2.(x - 2) - 3.(1 - x) = 2.(x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 

2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3

3x = -1

Como  , então 

Equações impossíveis e identidades

• Sendo  , considere a seguinte equação: 2.(6x - 4) = 3.(4x - 1).

Observe agora a sua resolução:

2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1

12x - 8 = 12x - 3 

12x - 12x = - 3 + 8

0 . x = 5

Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é  impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V =  Ø.

Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando  e 

•  Sendo  , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.

Observe a sua resolução:

-3x + 3x = 2 - 10 + 8

0 . x = 0 

Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.

Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto em um plano, utilizamos dois números racionais, em uma certa ordem. Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

Assim:

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

Observações:

1) De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: . Exemplos:

2) Dois pares ordenados (x,  y) e (r, s) são iguais somente se x = r  e  y = s.

Representação gráfica de um par ordenado

Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano. Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

Coordenadas cartesianas

Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

 A (3, 5) ==>  3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim: