Matemática - Equações do 1º Grau com Duas Variáveis (2)

Plano cartesiano

Representamos um par ordenado em um plano cartesiano. Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.

A reta horizontal é o eixo das abscissas
(eixo x).

A reta vertical é o eixo das ordenadas
(eixo y).

O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

Localização de um ponto

Para localizar um ponto em um plano cartesiano, utilizamos a sequência prática:

• O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.
• O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.
• No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:
  Localize o ponto (4, 3).

Produto cartesiano

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}  e  B = {3, 4}.

Com auxílio do diagrama de flechas ao lado, formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.

Assim, obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, sendo indicado por:

Logo:

Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produto cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde  

O que é uma equação do 1º grau com duas variáveis?

Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y.

Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, que pode ser transformada numa equação equivalente mais simples. Observe:

2x + 3y = 5 + 6

2x + 3y = 11   ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c.

Denominamos equação do 1º grau com duas variáveis, x e y, toda equação que pode ser reproduzida na forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.

Na equação ax + by = c, denominamos:

x e y  - variáveis ou incógnita a  -  coeficiente de x

b  -  coeficiente de y c  -  termo independente

Exemplos:

x + y = 30 2x + 3y = 15 x - 4y = 10

-3x - 7y = -48 2x- 3y = 0 x - y = 8

Solução de uma equação do 1º grau com duas variáveis

Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira?

Observe os pares abaixo:

x = 6,  y = 1

x - 2y = 4

6 - 2 . 1 = 4

6 - 2 = 4

4 = 4  (V)

x = 8,  y = 2

x - 2y = 4

8 - 2 . 2 = 4

8 - 4 = 4

4 = 4  (V)

x = -2,  y = -3

x - 2y = 4

-2 - 2 . (-3) = 4

-2 + 6 = 4

4 = 4  (V)

Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4. Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.

Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) -, sendo portanto seu conjunto universo .

Podemos determinar essas soluções atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo:

• Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.

Atribuímos para x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim:

3x - y = 8

3 . (1) - y = 8

3 - y = 8

-y = 5  ==> Multiplicamos por -1

y = -5

O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.

V = {(1, -5)}

Resumindo:

Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c (sendo a e b não-nulos simultaneamente), se para x=r e y=s a sentença é verdadeira.