Matemática - Semelhança de Polígonos

Semelhança de Polígonos

Introdução

Observe as figuras:

Figura A

Figura B

Figura C

Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três retângulos têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes. Dizemos que eles são figuras semelhantes.

Nessas figuras, podemos identificar:
AB - distância entre A e B (comprimento do retângulo).
CD - distância entre C e D (largura do retângulo).
 -  ângulos agudos formados pelos segmentos .

Medindo os segmentos de reta e  e os ângulos () das figuras, podemos organizar a seguinte tabela:

	m ()	m ()	ângulo
Fig. C	3,9 cm	1,3 cm	= 90º
Fig. B	4,5 cm	1,5 cm	= 90º
Fig. A	6,0 cm	2,0 cm	= 90º

Observe que:

• Os ângulos correspondentes nas três figuras têm medidas iguais;
• As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
                                              

Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes em geometria quando:

• os ângulos correspondentes têm medidas iguais;
• as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
• os elementos das figuras são comuns.

Outros exemplos de figuras semelhantes:

Formas iguais e tamanhos diferentes

Polígonos semelhantes

Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:

Observe que:

• os ângulos correspondentes são congruentes:
  
• os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:
  
  ou
  

Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e indicamos:

ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígono ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C'")

Ou seja:

Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja:

A razão de semelhança dos polígonos considerados é 

Observação: a definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas:

• ângulos correspondentes congruentes
• lados correspondentes proporcionais

Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos. 

Propriedades da semelhança de polígonos

Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos  polígonos.

Demonstração:

Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados: 
Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EAPerímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'

Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:

Exemplo:

• Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. Calcule os lados do segundo triângulo.         
  
  Solução:Razão de semelhança =
   
  
  
  Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.