Matemática - Ângulos (3)

Ângulos adjacentes

Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

Os ângulos AÔC  e CÔB não possuem pontos internos comuns.

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Os ângulos AÔC  e  AÔB possuem pontos internos comuns.

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Os ângulos CÔB  e AÔB possuem pontos internos comuns

   
Verifique que os ângulos AÔC  e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.       

Assim:

Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.

Observação:

Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:

Bissetriz de um ângulo

Observe a figura abaixo:

   
m (AÔC)  = m (CÔB) = 20º

Verifique que a semirreta   divide o ângulo AÔB em dois ângulos (AÔC e CÔB) congruentes. Nesse caso, a semirreta   é denominada bissetriz do ângulo AÔB.

Assim:

Bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo

Determinação da bissetriz do ângulo AÔB

Centramos o compasso em O e com uma abertura determinamos os pontos C e D sobre as semirretas , respectivamente.

Centramos o compasso em C e D e com uma abertura superior à metade da distância de C  a D traçamos arcos que se cruzam em E.

Traçamos , determinando assim a bissetriz de AÔB.

Ângulo agudo, obtuso e reto

Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.

• Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:

• Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:

• Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:

Retas perpendiculares

As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.

Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:

Observação:

Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquas. Exemplo:  

Ângulos complementares

Observe os ângulos AÔB  e BÔC na figura abaixo:

Verifique que:

m (AÔB) + m (BÔC) = 90º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB  e BÔC são complementares. Assim:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

Exemplo:

Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.

Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo	Complemento
x	90º  - x

Exemplo:

• Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?

Solução

Medida do complemento = 90º - medida do ângulo

Medida do complemento = 90º - 75º

Medida do complemento = 15º

Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.

Observação:

Os ângulos XÔY  e YÔZ  da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares.

                                       

Ângulos suplementares

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

As semirretas  formam um ângulo raso. Verifique que:

m (AÔB)  + m (BÔC) = 180º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim:

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

Exemplo:

Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º.

Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa.

Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo	Suplemento
x	180º  - x

Exemplo:

• Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?

Solução

Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo

Medida do suplemento = 180º - 55º

Medida do suplemento = 125º

Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.

Observação:

Os ângulos XÔY e YÔZ da figura abaixo, além de suplementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes suplementares.

Ângulos opostos pelo vértice

Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:

Verifique que:

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB  e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Na figura abaixo, vamos indicar:

Sabemos que:

X + Y = 180º  (ângulos adjacentes suplementares)

X  + K = 180º (ângulos adjacentes suplementares)

Então:

Logo: y = k

Assim:

m (AÔB) = m (CÔD) AÔB   CÔD

m (AÔD) = m (CÔB) AÔD   CÔB

Daí a propriedade:

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:

• Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º  e 3x - 40º. Qual é o valor de x?

Solução:

x + 60º  = 3x-40º   ângulos o.p.v

x - 3x  = - 40º-60º

-2x = -100º

x = 50º

Logo, o valor de x é 50º.