Matemática - Radiciação (2)

Potência com expoente fracionário

Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural nao-nulo, temos que:

Exemplos

Propriedades dos radicais

Justificativa: 
Exemplo: 

Justificativa: 
Exemplo: 

Justificativa: Escrevendo em forma de potência com expoente fracionário:
Exemplo: 

Propriedades operatórias dos radicais

Radical de um produto

Justificativa: 
Exemplo: 

Radical de um quociente

Justificativa: 
Exemplo: 

Mudança de índice

Justificativa: 
Exemplo: 

Simplificação de radicais

Confira a seguir alguns exemplos de simplificação de radicais, com base nas propriedades operatórias do item anterior:

Radicais semelhantes

Radicais semelhantes são aqueles que têm o mesmo índice e o mesmo radicando.

Exemplos:

Adição e subtração de radicais

1º caso: Radicais semelhantes

Fazemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica. Exemplos:

2º caso: Radicais semelhantes após simplificação

Depois de obter radicais semelhantes, procedemos como no 1º caso.

3º caso: Os radicais são diferentes

Extraímos as raízes e efetuamos as operações.

Multiplicação e divisão de radicais

1º caso: Os radicais têm o mesmo índice

Efetuamos a operaçao entre os radicandos.

2º caso: Os radicais têm índices diferentes

Primeiramente os reduzimos ao mesmo índice e depois efetuamos as operações.

Potência de um radical

Para elevar um radical a uma certa potência, devemos conservar o índice e elevar o radicando à potência indicada.

Veja a justificativa dessa propriedade através de um exemplo:

Outros exemplos:

Radical de um radical

Para obter a raiz de uma raiz, devemos conservar o radicando e multiplicar os índices.

Veja a justificativa dessa propriedade através de um exemplo:

Outros exemplos:

Racionalização de denominadores

Considere a fração , cujo denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente  possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração, devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização

1º caso: O denominador é um radical de índice 2. Exemplo:

  

é o fator racionalizante de , pois    = a

2º caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2, ou a soma (ou diferença) de dois termos.

Neste caso, é necessário multiplicar o numerador e o denominador da fraçao por um termo conveniente, para que desapareça o radical que se encontra no denominador. Exemplo:

A seguir, os principais fatores racionalizantes, de acordo com o tipo do denominador.

é o fator racionalizante de  é o fator racionalizante de  é o fator racionalizante de  é o fator racionalizante de

Veja outro exemplo: