Matemática - Potenciação

Potenciação

O que é potenciação?

Seja a multiplicação 2 . 2 . 2 . 2, onde todos os fatores são iguais. Podemos indicar este produto de modo abreviado:

2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16

Denominamos:

Base: o número que se repete.
Expoente: o número de fatores iguais.
Potência: o resultado da operação.

A operação efetuada é denominada potenciação.

Exemplos:

54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625

43 = 4 . 4 . 4 = 64

Leitura

Observe alguns exemplos:

3² (lê-se “três elevado ao quadrado ou o quadrado de três”)
2³ (lê-se “dois elevado ao cubo ou o cubo de dois”)
 (lê-se “sete elevado à quarta potência ou a quarta potência de sete”)
(lê-se “seis elevado à quinta potência ou a quinta potência de seis”)

Observação:

Um número natural é um quadrado perfeito quando é o produto de dois fatores iguais. Por exemplo, os números 4, 36 e 100 sao quadrados perfeitos, pois 2² = 4, 6² = 36 e 10² = 100.

Propriedades da potenciação

• Todo número natural elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo.
  
  Exemplos:
  
  
• Todo número natural nao-nulo elevado ao expoente zero é igual a 1.
  
  Exemplos:
  
• Toda potência da base 1 é igual a 1.
  
  Exemplos:
  
  
  
• Toda potência de 10 é igual ao numeral formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
  
  Exemplos:
  
• O expoente negativo significa que ocorre a troca de lugar entre o numerador o denominador.
  
  Exemplos:
  
• Se tivermos uma potência negativa no denominador, este se transforma em numerador ao trocar o sinal da potência.
  
  Exemplos:
  

Estudaremos a seguir algumas propriedades operatórias da potenciação.

Produto de potências de mesma base

Considere o produto . Observe que:

Assim:

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que:

Para multiplicar potências de mesma base, devemos conservar a base
e somar os expoentes.

Genericamente:

Divisão de potências de mesma base

Considere o quociente .  Observe que:

Assim:

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que:

Para dividir potências de mesma base, não-nula, devemos
conservar a base e subtrair os expoentes.

Genericamente:

Potência da potência

Considere a potência . Observe que:

Assim:

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que:

Para elevar uma potência a um novo expoente, devemos
conservar a base e multiplicar os expoentes.

Genericamente:

Distributiva da potenciação em relação à multiplicação

Considere a expressao .  Observe que:

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que:

Para elevar um produto a um expoente, devemos
elevar cada fator a esse expoente.

Genericamente:

Distributiva da potenciação em relação à divisão

Considere a expressao .  Observe que:

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que:

Para elevar um quociente a um expoente, devemos
elevar o numerador e o denominador a esse expoente.

Genericamente: