Matemática - Equações do 1º Grau com Duas Variáveis (3)

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente em um plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das soluções dessa equação. Exemplo:

• Construir um gráfico da equação x + y  = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.

  1º par: A (4, 0)

  2º par: B (0, 4)

A seguir, representamos esses pontos em um plano cartesiano.

x y 4 0 0 4

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.

A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.

Sistemas de Equações

Considere o seguinte problema:

O jogador Pipoca, em sua última partida de basquete, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

Podemos traduzir essa situação através de duas equações:

x + y = 25     (total de arremessos certos)

2x + 3y = 55     (total de pontos obtidos)

Essas equações formam um sistema de equações. Costuma-se indicar o sistema usando chave.

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução. A seguir, aprenderemos como solucionar um sistema desse tipo.

Resolução de Sistemas

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. Estudaremos a seguir alguns métodos:

Método de substituição

Solução:

• determinamos o valor de x na 1ª equação.
  x = 4 - y

• Substituímos esse valor na 2ª equação.
  2 . (4 - y) -3y = 3 

• Resolvemos a equação formada.

8 - 2y -3y = 3 -5y = -5   => Multiplicamos por -1 5y = 5 y = 1

• Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.

x  + y =  4 x  + 1 =  4 x =  4 - 1 x = 3

• A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
  V = {(3, 1)}

Método da adição

Sendo U = , observe a solução do sistema a seguir, pelo método da adição.

Solução:

• Adicionamos membro a membro as equações:

  2x = 16

  

  x = 8

• Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinando y:
  x + y = 10
  8 + y = 10
  y = 10 - 8
  y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (8, 2).

V = {(8, 2)}