Matemática - Quadriláteros

Quadriláteros

Definição

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Quadrilátero ABCD

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não consecutivos são chamados opostos.

Elementos

Na figura abaixo, temos:

Quadrilátero ABCD

Vértices:  A, B, C, e D.
Lados: 
Diagonais: 

Ângulos internos ou ângulos do 
quadrilátero ABCD: .

Observações:

1. Todo quadrilátero tem duas diagonais.
2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA. 

Côncavos e Convexos

Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.

Quadrilátero convexo

Quadrilátero côncavo

Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo

A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.

Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.

Do triângulo ABD, temos :

a + b1 + d1 = 180º.      (1)

Do triângulo BCD, temos:

c + b2 + d2 = 180º.       (2)

Adicionando (1) com (2), obtemos:

a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º
a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º

a + b + c + d = 360º

Observações:

1.Termos  uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:

Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.

2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.

Se = 360º

Paralelogramo

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

Exemplo:

h é a altura do paralelogramo.

O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado centro de simetria.

Destacaremos a seguir alguns paralelogramos.

Retângulo

Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).

Exemplo:

Losango

Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.

Exemplo:

Quadrado

Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.

Exemplo:

É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.

Trapézio

É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos, chamados bases.

  Exemplo:

      

Denominamos trapezoide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.

Trapézio retângulo

É aquele que apresenta dois ângulos retos.

Exemplo:

Trapézio isósceles

É aquele em que os lados não paralelos são congruentes.

Exemplo:

 

Trapézio escaleno

É aquele em que os lados não paralelos não são congruentes.

Exemplo:

Propriedades dos paralelogramos

1ª propriedade

Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

H:  ABCD é paralelogramo.

T:   

Demonstração:

Afirmativa
1.
2. 

Justificativa
1. Segmentos de paralelas entre paralelas.
2. Segmentos de paralelas entre paralelas.

2ª propriedade

Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

H: ABCD é paralelogramo.

T:  

Demonstração:

Afirmativa

1.
2.
3.
4.

Justificativa

1. Hipótese.
2. Hipótese.
3. Lado comum.
4. Caso L.L.L.

3ª propriedade

Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

H:  ABCD  é paralelogramo

T:  

Demonstração:

Afirmativa

1.
2.
3.

4. 
5. 

Justificativa

1. é diagonal (2ª propriedade)
2.Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
3. Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
4. 

4ª propriedade

As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

H: ABCD é paralelogramo.

T: 
     

Demonstração

Afirmativa

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Justificativa

1. Ângulos alternos internos.
2. Lados opostos (1ª propriedade).
3. Ângulos alternos internos.
4. Caso A.L.A.
5. Lados correspondentes em triângulos congruentes.

Resumindo:

Num paralelogramo:

• os lados opostos são congruentes;
• cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;
• os ângulos opostos são congruentes;
• as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.

Propriedade característica do retângulo

As diagonais de um retângulo são congruentes.

T: ABCD  é retângulo.

H: .