Matemática - Proporções (3)

Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção

Exemplos:

• Determine o valor de x na proporção:
  
  
  Solução:
  5 . x  =   8 . 15    (aplicando a propriedade fundamental)
  5 . x  =   120
  x   =  24
  Logo, o valor de x é 24.

• Determine o valor de x na proporção:
  
  
  Solução:
  5 . (x-3)  =   4 . (2x+1)    (aplicando a propriedade fundamental)
  5x - 15 =  8x + 4
  5x - 8x =  4 + 15
  -3x =  19
  3x =  -19x =   
  Logo, o valor de x é .

• Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
  
  Solução:
      (aplicando a propriedade fundamental)
  5 . x  =  8 . 35
  5x = 280
  x = 56
  Logo, o valor de x é 56.

Resolução de problemas envolvendo proporções

Exemplo:

• Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?
  
  Solução:
  A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:
  
  Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.
         (aplicando a propriedade fundamental)
  1 . 2  =  0,04 . x
  0,04x = 2
  x = 50 m3
  Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

Quarta proporcional

Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:

• Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.
  
  Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:
  
       (aplicando a propriedade fundamental)
  8 . x  =   12 . 6
  8 . x  =   72
  x   =  9
  
  Logo, a quarta proporcional é 9.

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção: .

Observe que os seus meios são iguais, sendo por isso denominada proporção contínua. Assim:

Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.

De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional

Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:

Exemplo:

• Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.
  
  Solução:
  Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:
       (aplicando a propriedade fundamental)
  20 . x  =  10 . 10
  20x = 100
  x = 5
  Logo, a terceira proporcional é 5.

Média geométrica ou média proporcional

Dada uma proporção contínua  , o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c.  Exemplo:

• Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.
  Solução:
  
  5 . 20  =  b . b
  100 = b2
  b2 = 100
  b = 
  b = 10
  Logo, a média geométrica positiva é 10.

Propriedades das proporções

1ª propriedade

Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração:Considere as proporções:

 e 

Adicionando 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos:

Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos:

Exemplo:

• Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.
  Solução:

Assim:

x+y = 84   =>   x = 84-y   =>    x = 84-48   =>   x=36.

Logo, x=36 e y=48.

2ª propriedade

Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração:Considere as proporções:

 e 

Subtraindo 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos:

Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos

 (Mult. os 2 membros por -1)

Exemplo:

• Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .
  Solução:

Pela 2ª propriedade, temos que:

x-y = 18   =>   x=18+y   =>   x = 18+12    =>   x=30.Logo, x=30 e y=12.

3ª propriedade:

Em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração:Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração:Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

       Exemplo:

• Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .
  Solução:
  
  Pela 4ª propriedade, temos que:
  
  

5ª propriedade:

Em uma proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.

Demonstração:Considere a proporção:

Multiplicando os dois membros por , temos:

Assim:

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:

Proporção múltipla

Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:

  é uma proporção múltipla.

Dada a série de razões iguais  , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever: